如果说数学是一套基于公理的纯粹逻辑体系，那么其为何可以用于描述世界？
数学并无对错，数学是推演本身。基于公理推演出一个自洽的空间。我们于现象中归纳定义得到概念，让概念在抽象的数学空间中推演，再把推演的结论反映射回现实试图进行自洽的解释。如果在数学空间中看，这一切无疑是完备的，真正存在问题的，是映射回现实世界这一步。我们如何知道，我们总结的概念反映的就是客观呢。甚至更进一步，客观的事实，一定能被我们自洽但不一定完备的数学所描述吗。
这中间似乎欠缺了一个合理的逻辑，原谅我现在依然找不到答案。
当然我们一定程度上可以忽略这个问题，只在逻辑空间中思考，在已知的逻辑框架中推演，类似于用已有的理论得到某些现象的推论，举个例子，求解二维的Ising模型是出色的物理工作，但本质上是数学工作。求解的目的是明确的，你我都知道这是一个必然有答案的过程，尽管得到这个过程本身并不一定简单。但倘若一个物理学家仅仅局限于这类问题，可能到底也就是个三流水平（当然，作为数学家可能是一流水平）。
二流的物理学家，能进行把现象投射到逻辑空间的思考。对应的其实就是用现有的逻辑空间解释新现象，例子就像用BCS理论解释传统超导现象。而真正一流的物理学家，我想一定是数学家，它们真正意义上地拓宽了逻辑空间，也就是引入了全新的数学，一如牛顿对微积分开创性的运用。
当然，以上的讨论跟具体的难度又无关，只是针对其结果对我们认识世界的深刻程度而言。
不过我想关于什么是“新的数学”这一点其实也是有待讨论的。数学一如任何语言，其存在本身就是为了描述“一切事情”。微积分是新的数学吗，傅里叶变换是新的数学吗，其基于的不都是更加基础的代数理念吗。
所以与其叫发明新的数学，不如说叫发明新的定义以及基于其之上的一切相关讨论。很多东西习惯成自然，就像你可以为the day after tomorrow造一个新词，只是没必要。真正的新数学一如语言中无可代替的一些成分，例如逻辑语义什么的，自然语言中的「存在」「否定」「因果」「数量」「条件」等表达在几乎每一种语言中都有对应的词，这不太像一种巧合对吧。
据说因纽特人的语言里有上百种描述雪的词汇。但这不代表这种语言有多么深刻，不是吗？换个角度，一百多种词汇，就能描述完整的雪吗。我们说数学是抽象，其实也不对，数学是基于抽象的推理本身，抽象这件事是独立的。例如我们从简单的个数中抽象出了整数的概念，并于各种东西之上应用了这个概念。只要我们彼此都认可这种抽象，就能基于抽象之上得到更深层的抽象。
抽象之内，怎么做都是合理，因为推理本身不会超出公理搭建的逻辑空间本身。唯一值得思考的，是我们的抽象，终究只能描述一部分我们感兴趣的性质，一如即使用上一百多种词汇，也难以穷尽雪这个简单的事物本身。
如此看来，物理学最关键的作用，或许可以视作是抽象这个动作本身。毕竟我们生活的宇宙，充满了特殊性和破缺，犹如高维的幽灵，我们只能用缝缝补补的人类的数学，窥测一个又一个它的切面，试图在其中寻找自洽与美。
所以有种说法是说数学是给笨蛋用的而不是给天才用的，毕竟天才直接从最朴素的形式出发得到答案，笨蛋才会各种脑筋急转弯搞出大多数人能用的解法，并从中归纳出所谓规律。
但这并不是说这些规律没有意义。如果每次思考都需要从最基础的元素开始，那么很大一部分认知资源会被消耗在维持中间步骤上。应该说这些一点一点省下来的思路链条能帮人看出点新的东西，就像你很难直接去解释为什么描述统计分布的正态函数里为什么会有一个 一样。
新的数学语言未必改变人类原则上能够思考什么，却可能改变哪些思考容易发生。大抵是这么个意思。不过任何时候自己都更倾向于认为，深刻的工作往往是顺理成章的结构性的必然。
附上Wigner的文章一篇
THE UNREASONABLE EFFECTIVENSS OF MATHEMATICS IN THE NATURAL SCIENCES