本文主要参考Subir Sachdev 的Quantum Phase Transitions，以及他关于连续量子相变的经典综述[1]
以及PI的Quamtum Matter 课程，听了前几节感觉挺有收获的，推荐一下
真心喜欢这些理论漂亮的工作，在一众待读列表里简直是清流
1 / 经典相变理论
以2D Ising为例，经典的相变理论无外乎朗道和平均场近似，最简单的铁磁 Ising 模型的哈密顿量为
H = − J ∑ ⟨ i , j ⟩ s i s j − h ∑ i s i H=-J\sum_{\langle i,j\rangle}s_is_j-h\sum_i s_i H = − J ⟨ i , j ⟩ ∑ s i s j − h i ∑ s i 随着温度变换会出现有序到无序的转变，具体来说我们可以用平均磁化强度 m m m
m = 1 N ∑ i ⟨ s i ⟩ m=\frac{1}{N}\sum_i\langle s_i\rangle m = N 1 i ∑ ⟨ s i ⟩ 朗道的想法是用惊人的注意力注意到既然相变可以用这玩意描述，就把自由能写成它的幂级数展开
f ( m , T ) = f 0 ( T ) + a 1 m + a 2 m 2 + a 3 m 3 + a 4 m 4 + ⋯ f(m,T)=f_0(T)+a_1m+a_2m^2+a_3m^3+a_4m^4+\cdots f ( m , T ) = f 0 ( T ) + a 1 m + a 2 m 2 + a 3 m 3 + a 4 m 4 + ⋯ 这个逆天操作的槽点实在太多而且肯定严格意义上是错的，但不妨碍它能得出一些有趣的结果，所以不妨先看下去，首先不难发现体系满足无磁场下的 Z 2 Z_2 Z 2
H ( { s i } ) = H ( { − s i } ) H(\{s_i\})=H(\{-s_i\}) H ({ s i }) = H ({ − s i }) 所以应该有
f ( m , T ) = f ( − m , T ) f(m,T)=f(-m,T) f ( m , T ) = f ( − m , T ) 这要求自由能只能包含 m m m
f ( m , T , h ) = f 0 ( T ) + r ( T ) 2 m 2 + u 4 m 4 − h m f(m,T,h)=f_0(T)+\frac{r(T)}{2}m^2+\frac{u}{4}m^4-hm f ( m , T , h ) = f 0 ( T ) + 2 r ( T ) m 2 + 4 u m 4 − hm 其中
r ( T ) = A ( T − T c ) , A > 0 , u > 0 r(T)=A(T-T_c),\qquad A>0,\quad u>0 r ( T ) = A ( T − T c ) , A > 0 , u > 0 这就是用于描述 Ising 相变的四次朗道自由能。平衡态对应于自由能的最小值。对应着求解
∂ f ∂ m = 0 ⇒ r m + u m 3 − h = 0 \frac{\partial f}{\partial m}=0 \Rightarrow rm+um^3-h=0 ∂ m ∂ f = 0 ⇒ r m + u m 3 − h = 0 m = ± − r u m=\pm\sqrt{-\frac{r}{u}} m = ± − u r 即无外磁场下存在两类驻点，后一组解仅在 r < 0 r<0 r < 0 T = T c T=T_c T = T c
m e q = ± A ( T c − T ) u m_{\mathrm{eq}}=\pm\sqrt{\frac{A(T_c-T)}{u}} m eq = ± u A ( T c − T ) 因此有幂律关系
m s p ∝ ( T c − T ) 1 / 2 m_{\mathrm{sp}}\propto(T_c-T)^{1/2} m sp ∝ ( T c − T ) 1/2 说明朗道理论预言磁化强度在接近临界温度时连续趋近于零，这也就是临界相变的特征。当然，由于这个推导太过粗糙，所以求出来的幂律系数也就图一乐。不过虽然自由能的幂律展开式看着很扯淡，但其实其还是有一定道理的，其对应的是平均场近似的结果。
设每个格点有 z z z m m m
⟨ s i s j ⟩ ≈ ⟨ s i ⟩ ⟨ s j ⟩ = m 2 \langle s_i s_j\rangle\approx\langle s_i\rangle\langle s_j\rangle=m^2 ⟨ s i s j ⟩ ≈ ⟨ s i ⟩ ⟨ s j ⟩ = m 2 那么每个自旋的平均能量为
e ( m ) = − z J 2 m 2 − h m e(m)=-\frac{zJ}{2}m^2-hm e ( m ) = − 2 z J m 2 − hm 设向上和向下的自旋分别占比
p + = 1 + m 2 , p − = 1 − m 2 p_+=\frac{1+m}{2},\qquad p_-=\frac{1-m}{2} p + = 2 1 + m , p − = 2 1 − m 在独立自旋近似下，每个自旋的熵为
s ( m ) = − k B [ p + ln p + + p − ln p − ] s(m)=-k_B\left[p_+\ln p_++p_-\ln p_-\right] s ( m ) = − k B [ p + ln p + + p − ln p − ] 因此自由能
f ( m , T ) = e ( m ) − T s ( m ) f(m,T)=e(m)-Ts(m) f ( m , T ) = e ( m ) − T s ( m ) 可以写成
f ( m , T , h ) = − z J 2 m 2 − h m + k B T [ 1 + m 2 ln 1 + m 2 + 1 − m 2 ln 1 − m 2 ] . \begin{aligned}
f(m,T,h)={}&-\frac{zJ}{2}m^2-hm\\
&+k_BT\left[\frac{1+m}{2}\ln\frac{1+m}{2}+\frac{1-m}{2}\ln\frac{1-m}{2}\right].
\end{aligned} f ( m , T , h ) = − 2 z J m 2 − hm + k B T [ 2 1 + m ln 2 1 + m + 2 1 − m ln 2 1 − m ] . 简单的泰勒展开可以得到
f ( m , T , h ) = − k B T ln 2 + k B T − z J 2 m 2 + k B T 12 m 4 + k B T 30 m 6 + ⋯ − h m . f(m,T,h)=-k_BT\ln2+\frac{k_BT-zJ}{2}m^2+\frac{k_BT}{12}m^4+\frac{k_BT}{30}m^6+\cdots-hm. f ( m , T , h ) = − k B T ln 2 + 2 k B T − z J m 2 + 12 k B T m 4 + 30 k B T m 6 + ⋯ − hm . 当二次项系数为零时，有
k B T c M F = z J k_BT_c^{\mathrm{MF}}=zJ k B T c MF = z J 这就是平均场理论预言的临界温度。二维对应 z = 4 z=4 z = 4
k B T c M F = 4 J k_BT_c^{\mathrm{MF}}=4J k B T c MF = 4 J 而精确解给出
k B T c = 2 J ln ( 1 + 2 ) ≈ 2.269 J k_BT_c=\frac{2J}{\ln(1+\sqrt2)}\approx2.269J k B T c = ln ( 1 + 2 ) 2 J ≈ 2.269 J 差距还是不小，可见平均场实在是过于粗糙的理论。更合理的平均场或许是不对全局求平均，而是求局域的平均，把序参量从单一的参数变成位置的函数
m ⟶ m ( x ) m\longrightarrow m(\mathbf x) m ⟶ m ( x ) 由此可得推广的Landau–Ginzburg理论。其自由能对应的变成了泛函
F [ m ] = ∫ d d x [ r 2 m ( x ) 2 + u 4 m ( x ) 4 + κ 2 ∣ ∇ m ( x ) ∣ 2 − h m ( x ) ] F[m]=\int d^d x\left[\frac r2m(\mathbf x)^2+\frac u4m(\mathbf x)^4+\frac{\kappa}{2}|\nabla m(\mathbf x)|^2-hm(\mathbf x)\right] F [ m ] = ∫ d d x [ 2 r m ( x ) 2 + 4 u m ( x ) 4 + 2 κ ∣∇ m ( x ) ∣ 2 − hm ( x ) ] 这里 d d d κ 2 ∣ ∇ m ∣ 2 \frac\kappa2|\nabla m|^2 2 κ ∣∇ m ∣ 2 x \mathbf x x y \mathbf y y
G ( x − y ) = ⟨ m ( x ) m ( y ) ⟩ − ⟨ m ( x ) ⟩ ⟨ m ( y ) ⟩ G(\mathbf x-\mathbf y)=\langle m(\mathbf x)m(\mathbf y)\rangle-\langle m(\mathbf x)\rangle\langle m(\mathbf y)\rangle G ( x − y ) = ⟨ m ( x ) m ( y )⟩ − ⟨ m ( x )⟩ ⟨ m ( y )⟩ 进行傅里叶变换：
m ( x ) = ∫ d 2 q ( 2 π ) 2 m q e i q ⋅ x m(\mathbf x)=\int\frac{d^2q}{(2\pi)^2}m_{\mathbf q}e^{i\mathbf q\cdot\mathbf x} m ( x ) = ∫ ( 2 π ) 2 d 2 q m q e i q ⋅ x 利用
∇ m ⟷ i q m q \nabla m\longleftrightarrow i\mathbf q m_{\mathbf q} ∇ m ⟷ i q m q 忽略四次项，得到
F G = 1 2 ∫ d 2 q ( 2 π ) 2 ( r + κ q 2 ) ∣ m q ∣ 2 F_G=\frac12\int\frac{d^2q}{(2\pi)^2}(r+\kappa q^2)|m_{\mathbf q}|^2 F G = 2 1 ∫ ( 2 π ) 2 d 2 q ( r + κ q 2 ) ∣ m q ∣ 2 利用高斯积分，可以得到动量空间关联函数：
G ( q ) = k B T r + κ q 2 = k B T / κ q 2 + ξ − 2 , G(\mathbf q)=\frac{k_BT}{r+\kappa q^2}=\frac{k_BT/\kappa}{q^2+\xi^{-2}}, G ( q ) = r + κ q 2 k B T = q 2 + ξ − 2 k B T / κ , 其中
ξ = κ r \xi=\sqrt{\frac{\kappa}{r}} ξ = r κ 即为特征长度尺度，在平均场近似下
r ∝ T − T c M F r\propto T-T_c^{\mathrm{MF}} r ∝ T − T c MF 于是
ξ ∝ ( T − T c M F ) − 1 / 2 \xi\propto(T-T_c^{\mathrm{MF}})^{-1/2} ξ ∝ ( T − T c MF ) − 1/2 同样的，这里的临界指数也就图一乐。
2 / 重整化群（RG）
虽然和接下来要讲的量子相变没啥关系 ，但为了严谨还是写一下处理经典相变相对更准确的方法，大名鼎鼎的RG重整化群理论。
我们先试着把参数无量纲化，写出无磁场下的配分函数
K = J k B T K=\frac{J}{k_BT} K = k B T J Z = ∑ { s i } exp ( K ∑ ⟨ i , j ⟩ s i s j ) Z=\sum_{\{s_i\}}
\exp\left(K\sum_{\langle i,j\rangle}s_is_j\right) Z = { s i } ∑ exp K ⟨ i , j ⟩ ∑ s i s j 重整化群可以视作是修正下的平均场近似，所以第一步依然是粗粒化操作，设想将二维区域划分为若干小块。例如可以把每个 3 × 3 3\times3 3 × 3
也即
S I = sgn ( ∑ i ∈ I s i ) . S_I=\operatorname{sgn}\left(\sum_{i\in I}s_i\right). S I = sgn ( i ∈ I ∑ s i ) . { s 1 , s 2 , … , s N } ⇒ { S 1 , S 2 , … , S N ′ } \{s_1,s_2,\ldots,s_N\} \Rightarrow \{S_1,S_2,\ldots,S_{N'}\} { s 1 , s 2 , … , s N } ⇒ { S 1 , S 2 , … , S N ′ } 为了使得粗粒化后的系统能够保留原系统的长距离统计性质，肯定不可能依然维持原有的配分函数形式。换句话说我们需要一个等效形式满足粗粒化前后的配分函数完全相等。
e − β H e f f [ S ] = ∑ { s } : B [ s ] = S e − β H [ s ] . e^{-\beta H_{\mathrm{eff}}[S]}
=
\sum_{\{s\}:B[s]=S}e^{-\beta H[s]}. e − β H eff [ S ] = { s } : B [ s ] = S ∑ e − β H [ s ] . Z e f f = ∑ { S } e − β H e f f [ S ] = ∑ { S } ∑ { s } : B [ s ] = S e − β H [ s ] = ∑ { s } e − β H [ s ] = Z Z_{\mathrm{eff}}
=\sum_{\{S\}}e^{-\beta H_{\mathrm{eff}}[S]}
=\sum_{\{S\}}
\sum_{\{s\}:B[s]=S}e^{-\beta H[s]}
=\sum_{\{s\}}e^{-\beta H[s]}
= Z Z eff = { S } ∑ e − β H eff [ S ] = { S } ∑ { s } : B [ s ] = S ∑ e − β H [ s ] = { s } ∑ e − β H [ s ] = Z 如果我们关心的可观测量O ( S ) O(S) O ( S )
⟨ O ( S ) ⟩ e f f = 1 Z ∑ S O ( S ) e − β H e f f [ S ] = 1 Z ∑ s O ( B [ s ] ) e − β H [ s ] \langle O(S)\rangle_{\mathrm{eff}}
=
\frac1Z
\sum_S O(S)e^{-\beta H_{\mathrm{eff}}[S]}
=
\frac1Z\sum_s O(B[s])e^{-\beta H[s]} ⟨ O ( S ) ⟩ eff = Z 1 S ∑ O ( S ) e − β H eff [ S ] = Z 1 s ∑ O ( B [ s ]) e − β H [ s ] 此时的相互作用可以展开写成长程多关联的形式
− H ′ k B T = K 1 ′ ∑ ⟨ I , J ⟩ S I S J + K 2 ′ ∑ ⟨ ⟨ I , J ⟩ ⟩ S I S J + K 4 ′ ∑ □ S I S J S K S L + ⋯ . -\frac{H'}{k_BT}
={}K_1'\sum_{\langle I,J\rangle}S_IS_J
+K_2'\sum_{\langle\langle I,J\rangle\rangle}S_IS_J
+K_4'\sum_{\square}S_IS_JS_KS_L+\cdots. − k B T H ′ = K 1 ′ ⟨ I , J ⟩ ∑ S I S J + K 2 ′ ⟨⟨ I , J ⟩⟩ ∑ S I S J + K 4 ′ □ ∑ S I S J S K S L + ⋯ . 换个视角看，RG变化其实就是关联系数的变换
K = ( K 1 , K 2 , K 3 , … ) . \mathbf K=(K_1,K_2,K_3,\ldots). K = ( K 1 , K 2 , K 3 , … ) . K ′ = R b ( K ) . \mathbf K'=\mathcal R_b(\mathbf K). K ′ = R b ( K ) . K ( 0 ) ⟶ K ( 1 ) ⟶ K ( 2 ) ⟶ ⋯ . \mathbf K^{(0)}
\longrightarrow
\mathbf K^{(1)}
\longrightarrow
\mathbf K^{(2)}
\longrightarrow\cdots. K ( 0 ) ⟶ K ( 1 ) ⟶ K ( 2 ) ⟶ ⋯ . 每一步都意味着以更大的长度尺度观察系统。而在临界点处的关联体系由于特殊的标度不变性，可预测的，应该存在RG变换的不动点K ∗ K^* K ∗
R b ( K ∗ ) = K ∗ , \mathcal R_b(\mathbf K^*)=\mathbf K^*, R b ( K ∗ ) = K ∗ , 而对于偏离临界面的初始点( K , 0 , 0 , . . . ) (K,0,0,...) ( K , 0 , 0 , ... )
不妨试着在临界点附近进行分析，假设一个系统处于临界固定点附近，其耦合常数为
K = K ∗ + δ K . \mathbf K=\mathbf K^*+\delta\mathbf K. K = K ∗ + δ K .
经过一次尺度因子为 b b b
K ′ = R b ( K ) \mathbf K'=\mathcal R_b(\mathbf K) K ′ = R b ( K ) 在固定点附近，尽管RG变换本身是非线性变换，但小量下依然可以将 RG 变换线性展开
δ K i ′ = ∑ j ∂ R i ∂ K j ∣ K ∗ δ K j . \delta K_i'
=
\sum_j
\left.
\frac{\partial\mathcal R_i}{\partial K_j}
\right|_{\mathbf K^*}
\delta K_j. δ K i ′ = j ∑ ∂ K j ∂ R i K ∗ δ K j . 写成矩阵形式
δ K ′ = M δ K . \delta\mathbf K'=M\delta\mathbf K. δ K ′ = M δ K .
进行喜闻乐见的对角化，找到一组独立的扰动方向 g i g_i g i b y i b^{y_i} b y i b b b g i ′ = b y i g i . g_i'=b^{y_i}g_i. g i ′ = b y i g i .
把y i > 0 y_i>0 y i > 0 y i < 0 y_i<0 y i < 0
RG的视角下同样可以引入关联长度的概念，注意到每次粗粒化的操作。假设初始偏离为
( K c + A ( T − T c ) , 0 , 0 , . . . ) (K_c+A(T-T_c),0,0,...) ( K c + A ( T − T c ) , 0 , 0 , ... ) 其在relevant分量的投影肯定也是正比于t = T − T c T c t=\frac{T-T_c}{T_c} t = T c T − T c n n n t n = b n y t t . t_n=b^{ny_t}t. t n = b n y t t .
认为∣ t n ∗ ∣ ∼ 1 |t_{n_*}|\sim1 ∣ t n ∗ ∣ ∼ 1
ξ ∼ b n ∗ . \xi\sim b^{n_*}. ξ ∼ b n ∗ . ξ ∼ ∣ t ∣ − 1 / y t . \xi\sim|t|^{-1/y_t}. ξ ∼ ∣ t ∣ − 1/ y t . 以上属于直观的理解视角，但实际去计算y t y_t y t ϕ \phi ϕ
S [ ϕ ] = ∫ d d x [ 1 2 ( ∇ ϕ ) 2 + r 2 ϕ 2 + u 4 ! ϕ 4 ] S[\phi]
=
\int d^dx
\left[
\frac12(\nabla\phi)^2
+\frac r2\phi^2
+\frac u{4!}\phi^4
\right] S [ ϕ ] = ∫ d d x [ 2 1 ( ∇ ϕ ) 2 + 2 r ϕ 2 + 4 ! u ϕ 4 ] Z = ∫ D ϕ e − S [ ϕ ] . Z=\int\mathcal D\phi\,e^{-S[\phi]}. Z = ∫ D ϕ e − S [ ϕ ] . 然后在这个框架之下进行RG操作，构形的粗粒化等效为对短波分量的积分，先将序参量场做 Fourier 展开（用晶格间距a a a
ϕ ( x ) = ∫ ∣ k ∣ < Λ d d k ( 2 π ) d e i k ⋅ x ϕ ( k ) . \phi(x)
=
\int_{|k|<\Lambda}
\frac{d^dk}{(2\pi)^d}
e^{ik\cdot x}\phi(k). ϕ ( x ) = ∫ ∣ k ∣ < Λ ( 2 π ) d d d k e ik ⋅ x ϕ ( k ) . Λ ∼ 1 a . \Lambda\sim\frac1a. Λ ∼ a 1 . 进行长短波的拆分
ϕ ( x ) = ϕ < ( x ) + ϕ > ( x ) . \phi(x)=\phi_<(x)+\phi_>(x). ϕ ( x ) = ϕ < ( x ) + ϕ > ( x ) . ϕ < ( x ) = ∫ ∣ k ∣ < Λ / b d d k ( 2 π ) d e i k x ϕ ( k ) , \phi_<(x)
=
\int_{|k|<\Lambda/b}
\frac{d^dk}{(2\pi)^d}
e^{ikx}\phi(k), ϕ < ( x ) = ∫ ∣ k ∣ < Λ/ b ( 2 π ) d d d k e ik x ϕ ( k ) , ϕ > ( x ) = ∫ Λ / b < ∣ k ∣ < Λ d d k ( 2 π ) d e i k x ϕ ( k ) . \phi_>(x)
=
\int_{\Lambda/b<|k|<\Lambda}
\frac{d^dk}{(2\pi)^d}
e^{ikx}\phi(k). ϕ > ( x ) = ∫ Λ/ b < ∣ k ∣ < Λ ( 2 π ) d d d k e ik x ϕ ( k ) . 则之前关于RG的讨论完全可以类比下来，配分函数可以改写成只包含慢模式的配分函数
Z = ∫ D ϕ < D ϕ > e − S [ ϕ < + ϕ > ] . Z
=
\int\mathcal D\phi_<\mathcal D\phi_>
e^{-S[\phi_<+\phi_>]}. Z = ∫ D ϕ < D ϕ > e − S [ ϕ < + ϕ > ] . Z = ∫ D ϕ < [ ∫ D ϕ > e − S [ ϕ < + ϕ > ] ] . Z
=
\int\mathcal D\phi_<
\left[
\int\mathcal D\phi_>
e^{-S[\phi_<+\phi_>]}
\right]. Z = ∫ D ϕ < [ ∫ D ϕ > e − S [ ϕ < + ϕ > ] ] . e − S e f f [ ϕ < ] = ∫ D ϕ > e − S [ ϕ < + ϕ > ] . e^{-S_{\mathrm{eff}}[\phi_<]}
=
\int\mathcal D\phi_>
e^{-S[\phi_<+\phi_>]}. e − S eff [ ϕ < ] = ∫ D ϕ > e − S [ ϕ < + ϕ > ] . Z = ∫ D ϕ < e − S e f f [ ϕ < ] . Z
=
\int\mathcal D\phi_<
e^{-S_{\mathrm{eff}}[\phi_<]}. Z = ∫ D ϕ < e − S eff [ ϕ < ] . 看上去似乎很完美，但其实还是有问题的，因为我们的展开并不见的完备，具体地说，作用量不见得可以只用( ∇ ϕ ) (\nabla\phi) ( ∇ ϕ ) ϕ 2 \phi^2 ϕ 2 ϕ 4 \phi^4 ϕ 4
定义 Gaussian 平均
⟨ F [ ϕ > ] ⟩ > = ∫ D ϕ > F [ ϕ > ] e − S 0 [ ϕ > ] ∫ D ϕ > e − S 0 [ ϕ > ] . \langle F[\phi_>]\rangle_>
=
\frac{
\int\mathcal D\phi_>\,
F[\phi_>]e^{-S_0[\phi_>]}}
{\int\mathcal D\phi_>\,e^{-S_0[\phi_>]}}. ⟨ F [ ϕ > ] ⟩ > = ∫ D ϕ > e − S 0 [ ϕ > ] ∫ D ϕ > F [ ϕ > ] e − S 0 [ ϕ > ] . 由 Gaussian action
⟨ ϕ > ( k ) ϕ > ( − k ) ⟩ > = 1 k 2 + r \langle\phi_>(k)\phi_>(-k)\rangle_>
=
\frac1{k^2+r} ⟨ ϕ > ( k ) ϕ > ( − k ) ⟩ > = k 2 + r 1 因此在同一空间点
⟨ ϕ > 2 ( x ) ⟩ > = ∫ Λ / b < ∣ k ∣ < Λ d d k ( 2 π ) d 1 k 2 + r . \langle\phi_>^2(x)\rangle_>
=
\int_{\Lambda/b<|k|<\Lambda}
\frac{d^dk}{(2\pi)^d}
\frac1{k^2+r}. ⟨ ϕ > 2 ( x ) ⟩ > = ∫ Λ/ b < ∣ k ∣ < Λ ( 2 π ) d d d k k 2 + r 1 . 现在来计算单次RG下的系数变换( r , u ) → ( r ′ , u ′ ) (r,u)\rightarrow (r',u') ( r , u ) → ( r ′ , u ′ ) S = S 0 + S i n t S=S_0+S_{\rm int} S = S 0 + S int
S 0 = 1 2 ∫ d d x [ ( ∇ ϕ ) 2 + r ϕ 2 ] , S_0=
\frac12
\int d^dx
\left[
(\nabla\phi)^2+r\phi^2
\right], S 0 = 2 1 ∫ d d x [ ( ∇ ϕ ) 2 + r ϕ 2 ] , S i n t = u 4 ! ∫ d d x ϕ 4 . S_{\rm int}
=
\frac u{4!}\int d^dx\,\phi^4. S int = 4 ! u ∫ d d x ϕ 4 . S 0 S_0 S 0 r = 0 r=0 r = 0 ϕ 4 \phi^4 ϕ 4
( ϕ < + ϕ > ) 4 = ϕ < 4 + 4 ϕ < 3 ϕ > + 6 ϕ < 2 ϕ > 2 + 4 ϕ < ϕ > 3 + ϕ > 4 . (\phi_<+\phi_>)^4
=
\phi_<^4
+4\phi_<^3\phi_>
+6\phi_<^2\phi_>^2
+4\phi_<\phi_>^3
+\phi_>^4. ( ϕ < + ϕ > ) 4 = ϕ < 4 + 4 ϕ < 3 ϕ > + 6 ϕ < 2 ϕ > 2 + 4 ϕ < ϕ > 3 + ϕ > 4 . 省略积分过程直接给出
r e f f = r + u 2 I 1 + ⋯ , r_{\rm eff}
=
r+\frac u2 I_1+\cdots, r eff = r + 2 u I 1 + ⋯ , u e f f = u − 3 2 u 2 I 2 + ⋯ . u_{\rm eff}
=
u-\frac32u^2 I_2+\cdots. u eff = u − 2 3 u 2 I 2 + ⋯ . I 1 = ∫ Λ / b < ∣ k ∣ < Λ d d k ( 2 π ) d 1 k 2 + r . I_1
=
\int_{\Lambda/b<|k|<\Lambda}
\frac{d^dk}{(2\pi)^d}
\frac1{k^2+r}. I 1 = ∫ Λ/ b < ∣ k ∣ < Λ ( 2 π ) d d d k k 2 + r 1 . I 2 = ∫ Λ / b < ∣ k ∣ < Λ d d k ( 2 π ) d 1 ( k 2 + r ) 2 . I_2=
\int_{\Lambda/b<|k|<\Lambda}
\frac{d^dk}{(2\pi)^d}
\frac1{(k^2+r)^2}. I 2 = ∫ Λ/ b < ∣ k ∣ < Λ ( 2 π ) d d d k ( k 2 + r ) 2 1 . rescaling后给出最终结果
r ′ = b 2 ( r + u 2 I 1 + ⋯ ) . r'
=
b^2
\left(r+\frac u2I_1+\cdots\right). r ′ = b 2 ( r + 2 u I 1 + ⋯ ) . u ′ = b 4 − d ( u − 3 2 u 2 I 2 + ⋯ ) . u'
=
b^{4-d}
\left(u-\frac32u^2I_2+\cdots\right). u ′ = b 4 − d ( u − 2 3 u 2 I 2 + ⋯ ) . 为了普适性我们希望把这个变换连续化，也就是把离散的RG变换变成多个b → 1 b\rightarrow1 b → 1 b = e d ℓ b=e^{d\ell} b = e d ℓ
那么
I 1 ≃ A d Λ d Λ 2 + r d ℓ , I_1
\simeq
A_d\frac{\Lambda^d}{\Lambda^2+r}\,d\ell, I 1 ≃ A d Λ 2 + r Λ d d ℓ , I 2 ≃ A d Λ d ( Λ 2 + r ) 2 d ℓ . I_2
\simeq
A_d\frac{\Lambda^d}{(\Lambda^2+r)^2}\,d\ell. I 2 ≃ A d ( Λ 2 + r ) 2 Λ d d ℓ . 其中A d = Ω d ( 2 π ) d A_d=\frac{\Omega_d}{(2\pi)^d} A d = ( 2 π ) d Ω d Ω d \Omega_d Ω d d d d
ρ = r Λ 2 , g = u Λ d − 4 . \rho=\frac r{\Lambda^2},
\qquad
g=u\Lambda^{d-4}. ρ = Λ 2 r , g = u Λ d − 4 . d ρ d ℓ = 2 ρ + A d 2 g 1 + ρ + ⋯ \frac{d\rho}{d\ell}
=
2\rho+
\frac{A_d}{2}\frac g{1+\rho}
+\cdots d ℓ d ρ = 2 ρ + 2 A d 1 + ρ g + ⋯ d g d ℓ = ( 4 − d ) g − 3 A d 2 g 2 ( 1 + ρ ) 2 + ⋯ . \frac{dg}{d\ell}
=
(4-d)g
-
\frac{3A_d}{2}
\frac{g^2}{(1+\rho)^2}
+\cdots. d ℓ d g = ( 4 − d ) g − 2 3 A d ( 1 + ρ ) 2 g 2 + ⋯ . 在Gaussian fixed point ( r = 0 , u = 0 ) (r=0,u=0) ( r = 0 , u = 0 )
d ρ d ℓ = 0 , d g d ℓ = 0. \frac{d\rho}{d\ell}=0,
\qquad
\frac{dg}{d\ell}=0. d ℓ d ρ = 0 , d ℓ d g = 0. d ρ d ℓ ≃ 2 ρ + A d 2 g , \frac{d\rho}{d\ell}
\simeq
2\rho+\frac{A_d}{2}g, d ℓ d ρ ≃ 2 ρ + 2 A d g , d g d ℓ ≃ ( 4 − d ) g . \frac{dg}{d\ell}
\simeq
(4-d)g. d ℓ d g ≃ ( 4 − d ) g . 得到稳定性矩阵
M = ( 2 A d / 2 0 4 − d ) M=
\begin{pmatrix}
2&A_d/2\\
0&4-d
\end{pmatrix} M = ( 2 0 A d /2 4 − d ) eigenvalues
y 1 = 2 , y 2 = 4 − d y_1=2,\qquad y_2=4-d y 1 = 2 , y 2 = 4 − d 对我们当前讨论的2D模型，有y 2 = 2 > 0 y_2=2>0 y 2 = 2 > 0 ( r = 0 , u = 0 ) (r=0,u=0) ( r = 0 , u = 0 )
为了让计算可控，取
d = 4 − ε , 0 < ε ≪ 1. d=4-\varepsilon,\qquad 0<\varepsilon\ll1. d = 4 − ε , 0 < ε ≪ 1. d g d ℓ = ε g − 3 A d 2 g 2 ( 1 + ρ ) 2 . \frac{dg}{d\ell}
=
\varepsilon g-\frac{3A_d}{2}
\frac{g^2}{(1+\rho)^2}. d ℓ d g = ε g − 2 3 A d ( 1 + ρ ) 2 g 2 . 在一阶精度下，可以写成
d g d ℓ = ε g − 3 A 4 2 g 2 + ⋯ . \frac{dg}{d\ell}
=
\varepsilon g-\frac{3A_4}{2}g^2+\cdots. d ℓ d g = ε g − 2 3 A 4 g 2 + ⋯ . 扔掉trivial的g G ∗ = 0 g_G^\ast=0 g G ∗ = 0
g W F ∗ = 2 ε 3 A 4 + O ( ε 2 ) . g_{WF}^\ast=\frac{2\varepsilon}{3A_4}+O(\varepsilon^2). g W F ∗ = 3 A 4 2 ε + O ( ε 2 ) . 同样来分析一下临界性质，在 Wilson–Fisher fixed point 附近，保留 ε \varepsilon ε
M W F ∗ = ( 2 − ε / 3 A 4 / 2 + O ( ε ) O ( ε 2 ) − ε ) . M_{WF}^\ast
=
\begin{pmatrix}
2-\varepsilon/3&A_4/2+O(\varepsilon)\\
O(\varepsilon^2)&-\varepsilon
\end{pmatrix}. M W F ∗ = ( 2 − ε /3 O ( ε 2 ) A 4 /2 + O ( ε ) − ε ) . 得到
y t W F = 2 − ε 3 + O ( ε 2 ) > 0 y_t^{WF}=2-\frac{\varepsilon}{3}+O(\varepsilon^2)>0 y t W F = 2 − 3 ε + O ( ε 2 ) > 0 y g W F = − ε + O ( ε 2 ) < 0. y_g^{WF}=-\varepsilon+O(\varepsilon^2)<0. y g W F = − ε + O ( ε 2 ) < 0. 发现四次相互作用在 Wilson–Fisher fixed point 附近是 irrelevant。不过由于前面的数学计算过程对ϵ \epsilon ϵ ϵ = 2 \epsilon = 2 ϵ = 2
有趣的一点是，虽然2D Ising的作用量不能严格用ϕ 4 \phi^4 ϕ 4 ϕ 4 \phi^4 ϕ 4
3 / 横场Ising＆量子相变
那么终于到了主题部分，考虑下面这个最经典的量子相变模型，一维横场Ising，其作用在一维自旋格点体系下，属于一个well defined的量子体系，其Hamiltonian写成
H = H J + H Γ = − J ∑ j = 1 N − 1 σ j z σ j + 1 z − Γ ∑ j = 1 N σ j x H=H_J+H_\Gamma=-J\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_j^z\sigma_{j+1}^z
-\Gamma\sum_{j=1}^N\sigma_j^x H = H J + H Γ = − J j = 1 ∑ N − 1 σ j z σ j + 1 z − Γ j = 1 ∑ N σ j x 注意到[ H J , H Γ ] ≠ 0 [H_J,H_\Gamma]\neq0 [ H J , H Γ ] = 0
当 Γ = 0 \Gamma=0 Γ = 0
∣ F + ⟩ = ∣ ↑ ↑ ⋯ ↑ ⟩ , ∣ F − ⟩ = ∣ ↓ ↓ ⋯ ↓ ⟩ |\mathrm F_+\rangle=|\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\rangle,
|\mathrm F_-\rangle=|\downarrow\downarrow\cdots\downarrow\rangle ∣ F + ⟩ = ∣ ↑↑ ⋯ ↑ ⟩ , ∣ F − ⟩ = ∣ ↓↓ ⋯ ↓ ⟩ 其能量均为 E 0 = − ( N − 1 ) J E_0=-(N-1)J E 0 = − ( N − 1 ) J
相应的 J = 0 J=0 J = 0
∣ P ⟩ = ⨂ j = 1 N ∣ → ⟩ j |\mathrm P\rangle=\bigotimes_{j=1}^{N}|\rightarrow\rangle_j ∣ P ⟩ = j = 1 ⨂ N ∣ → ⟩ j ∣ → ⟩ = ∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩ 2 |\rightarrow\rangle
=\frac{|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle}{\sqrt2} ∣ → ⟩ = 2 ∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩ 此时E 0 = − N h E_0=-Nh E 0 = − N h
这里其实可以试着进行一些微扰讨论然后和后面的精确解做比较，但自己懒得写这部分了，我们直接看精确求解方法。下面是横场Ising的两种典型解法
3.1 / Jordan-Wigner变换
JW变换最直接的想法是试图把整个自旋链体系用等效的费米子链体系表示，因为二者有一个看着似乎很显然的对应关系，即把自旋的∣ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ⟩ |\uparrow\rangle,|\downarrow\rangle ∣ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ⟩ ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle,|1\rangle ∣0 ⟩ , ∣1 ⟩
∣ ↑ ⟩ ⟷ ∣ 0 ⟩ , |\uparrow\rangle\longleftrightarrow|0\rangle, ∣ ↑ ⟩ ⟷ ∣0 ⟩ , ∣ ↓ ⟩ ⟷ ∣ 1 ⟩ . |\downarrow\rangle\longleftrightarrow|1\rangle. ∣ ↓ ⟩ ⟷ ∣1 ⟩ . 事实也的确如此，自旋链的希尔伯特空间与费米子 Fock 空间严格等价（尽管不是那么显然，但这是对的）。所以根据二次量子化的思想，自旋体系中的算符应该也可以用产生湮灭算符完备表示。
尽管似乎有现成的自旋升降算符例如σ j − ∣ ↑ ⟩ j = ∣ ↓ ⟩ j \sigma_j^-|\uparrow\rangle_j=|\downarrow\rangle_j σ j − ∣ ↑ ⟩ j = ∣ ↓ ⟩ j
{ c ^ i , c ^ j † } = δ i j , { c ^ i , c ^ j } = 0 , { c ^ i † , c ^ j † } = 0 \{\hat c_i,\hat c_j^\dagger\} = \delta_{ij},\qquad
\{\hat c_i,\hat c_j\} = 0,\qquad
\{\hat c_i^\dagger,\hat c_j^\dagger\} = 0 { c ^ i , c ^ j † } = δ ij , { c ^ i , c ^ j } = 0 , { c ^ i † , c ^ j † } = 0 所以还得具体去构造。至于怎么构造的你就别管了，关键是我们知道这件事是肯定可以做到的，这里直接搬结果。定义旋转后的自旋算符
τ j x = σ j z , τ j y = − σ j y , τ j z = σ j x . \tau_j^x=\sigma_j^z,
\qquad
\tau_j^y=-\sigma_j^y,
\qquad
\tau_j^z=\sigma_j^x. τ j x = σ j z , τ j y = − σ j y , τ j z = σ j x . H = − J ∑ j = 1 N − 1 τ j x τ j + 1 x − Γ ∑ j = 1 N τ j z . H=-J\sum_{j=1}^{N-1}\tau_j^x\tau_{j+1}^x
-\Gamma\sum_{j=1}^N\tau_j^z. H = − J j = 1 ∑ N − 1 τ j x τ j + 1 x − Γ j = 1 ∑ N τ j z . 这相当于一种旋转，这个自旋算符和原先的自旋算符本征态肯定是不一样了，我们可以在这个新的自旋算符之上再定义新的自旋升降
τ j + = τ j x + i τ j y 2 , \tau_j^+=\frac{\tau_j^x+i\tau_j^y}{2}, τ j + = 2 τ j x + i τ j y , τ j − = τ j x − i τ j y 2 . \tau_j^-=\frac{\tau_j^x-i\tau_j^y}{2}. τ j − = 2 τ j x − i τ j y . 而最终的产生湮灭算符会长成这个样子
c j = ( ∏ ℓ < j τ ℓ z ) τ j + c_j=
\left(\prod_{\ell<j}\tau_\ell^z\right)\tau_j^+ c j = ℓ < j ∏ τ ℓ z τ j + c j † = ( ∏ ℓ < j τ ℓ z ) τ j − . c_j^\dagger=
\left(\prod_{\ell<j}\tau_\ell^z\right)\tau_j^-. c j † = ℓ < j ∏ τ ℓ z τ j − . 此即 Jordan–Wigner 变换。用升降算符重写哈密顿量，得到
H = − J ∑ j = 1 N − 1 ( c j † c j + 1 + c j + 1 † c j ) − J ∑ j = 1 N − 1 ( c j † c j + 1 † + c j + 1 c j ) + 2 Γ ∑ j = 1 N c j † c j − N Γ H={}-J\sum_{j=1}^{N-1}
\left(
c_j^\dagger c_{j+1}
+c_{j+1}^\dagger c_j
\right)
-J\sum_{j=1}^{N-1}
\left(
c_j^\dagger c_{j+1}^\dagger
+c_{j+1}c_j
\right)
+2\Gamma\sum_{j=1}^{N}c_j^\dagger c_j
-N\Gamma H = − J j = 1 ∑ N − 1 ( c j † c j + 1 + c j + 1 † c j ) − J j = 1 ∑ N − 1 ( c j † c j + 1 † + c j + 1 c j ) + 2Γ j = 1 ∑ N c j † c j − N Γ 当然这么一同操作之后模型也不见得就很好处理了。不过起码我们可以试着来进行熟悉的二次量子化下的对角化操作，首先注意到系统具有平移对称性，可以改用动量模式
c j = 1 N ∑ k e i k j c k . c_j=\frac1{\sqrt N}\sum_ke^{ikj}c_k. c j = N 1 k ∑ e ikj c k . 动量模型下的哈密顿量写成
H = ∑ k A k c k † c k − N Γ − i ∑ k > 0 B k ( c k † c − k † + c k c − k ) . H=\sum_kA_kc_k^\dagger c_k-N\Gamma
-i\sum_{k>0}B_k
(c_k^\dagger c_{-k}^\dagger+c_kc_{-k}). H = k ∑ A k c k † c k − N Γ − i k > 0 ∑ B k ( c k † c − k † + c k c − k ) . A k = 2 ( Γ − J cos k ) A_k=2(\Gamma-J\cos k) A k = 2 ( Γ − J cos k ) B k = 2 J sin k . B_k=2J\sin k. B k = 2 J sin k . 看着顺眼不少，进一步的Bogoliubov变换得到我们需要的对角化形式
H = ∑ k ε k ( γ k † γ k − 1 2 ) . H=
\sum_k
\varepsilon_k
\left(
\gamma_k^\dagger\gamma_k-\frac12
\right). H = k ∑ ε k ( γ k † γ k − 2 1 ) . 其中
γ k = ε k + A k 2 ε k c k − i ε k − A k 2 ε k c − k † \gamma_k
=
\sqrt{\frac{\varepsilon_k+A_k}{2\varepsilon_k}}\,c_k
-
i\sqrt{\frac{\varepsilon_k-A_k}{2\varepsilon_k}}\,c_{-k}^\dagger γ k = 2 ε k ε k + A k c k − i 2 ε k ε k − A k c − k † ε k = 2 Γ 2 + J 2 − 2 Γ J cos k , \varepsilon_k
=
2\sqrt{\Gamma^2+J^2-2\Gamma J\cos k}, ε k = 2 Γ 2 + J 2 − 2Γ J cos k , 对应的准粒子基态可以用动量模式写成
∣ G S ⟩ = ∏ k > 0 ( ε k + A k 2 ε k + i ε k − A k 2 ε k c k † c − k † ) ∣ 0 c ⟩ . |GS\rangle
=
\prod_{k>0}
\left(
\sqrt{\frac{\varepsilon_k+A_k}{2\varepsilon_k}}+
i\sqrt{\frac{\varepsilon_k-A_k}{2\varepsilon_k}}
c_k^\dagger c_{-k}^\dagger
\right)|0_c\rangle. ∣ GS ⟩ = k > 0 ∏ ( 2 ε k ε k + A k + i 2 ε k ε k − A k c k † c − k † ) ∣ 0 c ⟩ . 于是哈密顿量又可以写作
H = E 0 + ∑ k ε k n k , H=E_0+\sum_k\varepsilon_k n_k, H = E 0 + k ∑ ε k n k , E 0 = − 1 2 ∑ k ε k E_0=-\frac12\sum_k\varepsilon_k E 0 = − 2 1 k ∑ ε k 其实从跃迁能量ε k \varepsilon_k ε k k k k k = 0 k=0 k = 0 Δ q p = 2 ∣ Γ − J ∣ \Delta_{\mathrm{qp}}=2|\Gamma-J| Δ qp = 2∣Γ − J ∣
g = Γ / J = 1 g = \Gamma/J = 1 g = Γ/ J = 1 但我们还不好说这玩意就是我们想找的相变临界点，毕竟能隙怎么在原来的自旋模型中找到对应还有待考量。更直接的方法应该是计算磁化量，严格求解结果给出
m z s p ( g ) = { ( 1 − g 2 ) 1 / 8 , 0 ≤ g < 1 , 0 , g ≥ 1. m_z^{\mathrm{sp}}(g)=
\begin{cases}
(1-g^2)^{1/8},&0\leq g<1,\\
0,&g\geq1.
\end{cases} m z sp ( g ) = { ( 1 − g 2 ) 1/8 , 0 , 0 ≤ g < 1 , g ≥ 1. 由此直接得到临界点和临界指数。以及也可以试着计算关联长度，利用自旋关联函数，可证明在顺磁相 g > 1 g>1 g > 1
⟨ σ j z σ j + r z ⟩ ∼ C ( g ) r − 1 / 2 g − r , \langle\sigma_j^z\sigma_{j+r}^z\rangle
\sim C(g)\,r^{-1/2}g^{-r}, ⟨ σ j z σ j + r z ⟩ ∼ C ( g ) r − 1/2 g − r , 比较 g − r = e − r ln g g^{-r}=e^{-r\ln g} g − r = e − r l n g e − r / ξ e^{-r/\xi} e − r / ξ
ξ ( g ) = 1 ln g , g > 1. \xi(g)=\frac1{\ln g},
\qquad g>1. ξ ( g ) = ln g 1 , g > 1. 故有渐进形式
ξ ∼ ∣ g − 1 ∣ − 1 , ν = 1. \xi\sim|g-1|^{-1},
\qquad\nu=1. ξ ∼ ∣ g − 1 ∣ − 1 , ν = 1. 同样可以得到临界点和对应的临界指数。
3.2 / 二维经典mapping
相比起JW的严格求解，这个方法更多是提供一个新的视角而非新的求解方式。
尽管横场Ising完全是一个纯态的量子模型，但原则上并不阻止我们依照量子统计的观点写出它的有限温度下的配分函数，毕竟总可以通过把温度趋于0得到纯态的性质。
Z Q = Tr e − β H Q , β = 1 k B T Q . Z_Q=\operatorname{Tr}e^{-\beta H_Q},
\qquad
\beta=\frac1{k_BT_Q}. Z Q = Tr e − β H Q , β = k B T Q 1 . H Q = H J + H Γ = − J ∑ j = 1 N σ j z σ j + 1 z − Γ ∑ j = 1 N σ j x , H_Q=H_J+H_\Gamma=-J\sum_{j=1}^{N}\sigma_j^z\sigma_{j+1}^z
-\Gamma\sum_{j=1}^{N}\sigma_j^x, H Q = H J + H Γ = − J j = 1 ∑ N σ j z σ j + 1 z − Γ j = 1 ∑ N σ j x , 由于[ H z , H x ] ≠ 0 [H_z,H_x]\neq0 [ H z , H x ] = 0
e − β ( H z + H x ) = lim M → ∞ ( e − Δ τ H z e − Δ τ H x ) M . e^{-\beta(H_z+H_x)}
=
\lim_{M\to\infty}
\left(
e^{-\Delta\tau H_z}
e^{-\Delta\tau H_x}
\right)^M. e − β ( H z + H x ) = M → ∞ lim ( e − Δ τ H z e − Δ τ H x ) M . Δ τ = β M . \Delta\tau=\frac{\beta}{M}. Δ τ = M β . Z Q = lim M → ∞ Tr [ e Δ τ J ∑ j σ j z σ j + 1 z e Δ τ Γ ∑ j σ j x ] M . Z_Q
=
\lim_{M\to\infty}
\operatorname{Tr}
\left[
e^{\Delta\tau J\sum_j\sigma_j^z\sigma_{j+1}^z}
e^{\Delta\tau\Gamma\sum_j\sigma_j^x}
\right]^M. Z Q = M → ∞ lim Tr [ e Δ τ J ∑ j σ j z σ j + 1 z e Δ τ Γ ∑ j σ j x ] M . 求迹等同于对某一完备本征基底投影求和，选择插入完备的构形基底（也即 σ z \sigma^z σ z ∣ s ⟩ = ∣ s 1 , s 2 , … , s N ⟩ |\mathbf s\rangle
=|s_1,s_2,\ldots,s_N\rangle ∣ s ⟩ = ∣ s 1 , s 2 , … , s N ⟩ s M + 1 = s 1 \mathbf s_{M+1}=\mathbf s_1 s M + 1 = s 1
I = ∑ s ∣ s ⟩ ⟨ s ∣ . I=\sum_{\mathbf s}|\mathbf s\rangle\langle\mathbf s|. I = s ∑ ∣ s ⟩ ⟨ s ∣. Z Q = lim M → ∞ ∑ { s 1 , … , s M } ∏ ℓ = 1 M ⟨ s ℓ ∣ e − Δ τ H z ∣ s ℓ ⟩ ⟨ s ℓ ∣ e − Δ τ H x ∣ s ℓ + 1 ⟩ . Z_Q
=\lim_{M\to\infty}
\sum_{\{\mathbf s_1,\ldots,\mathbf s_M\}}
\prod_{\ell=1}^M
\langle\mathbf s_\ell|
e^{-\Delta\tau H_z}
|\mathbf s_\ell\rangle
\langle\mathbf s_\ell|
e^{-\Delta\tau H_x}
|\mathbf s_{\ell+1}\rangle. Z Q = M → ∞ lim { s 1 , … , s M } ∑ ℓ = 1 ∏ M ⟨ s ℓ ∣ e − Δ τ H z ∣ s ℓ ⟩ ⟨ s ℓ ∣ e − Δ τ H x ∣ s ℓ + 1 ⟩ . 这里可以参考路径积分蒙特卡洛方法 / Path Integral Monte Carlo 这篇笔记里关于虚时路径积分的内容。
比较显然地有
⟨ s ℓ ∣ e − Δ τ H z ∣ s ℓ ⟩ = exp [ J Δ τ ∑ j s j , ℓ s j + 1 , ℓ ] . \begin{aligned}
&\langle\mathbf s_\ell|
e^{-\Delta\tau H_z}
|\mathbf s_\ell\rangle
=
\exp\left[
J\Delta\tau
\sum_j s_{j,\ell}s_{j+1,\ell}
\right].
\end{aligned} ⟨ s ℓ ∣ e − Δ τ H z ∣ s ℓ ⟩ = exp [ J Δ τ j ∑ s j , ℓ s j + 1 , ℓ ] . 比较不太显然地有
⟨ s ′ ∣ e Γ Δ τ σ x ∣ s ⟩ = 1 2 sinh ( 2 Γ Δ τ ) exp [ K τ s s ′ ] . \langle s'|e^{\Gamma\Delta\tau\sigma^x}|s\rangle
=
\sqrt{\frac12\sinh(2\Gamma\Delta\tau)}
\exp\left[
K_\tau ss'
\right]. ⟨ s ′ ∣ e ΓΔ τ σ x ∣ s ⟩ = 2 1 sinh ( 2ΓΔ τ ) exp [ K τ s s ′ ] . K τ = 1 2 ln coth ( Γ Δ τ ) . K_\tau
=\frac12\ln\coth(\Gamma\Delta\tau). K τ = 2 1 ln coth ( ΓΔ τ ) . 两个式子合在一块就可以得到总的配分函数，会发现它与经典二维Ising模型（无磁场且各向异性）的配分函数非常的神似
Z Q = lim M → ∞ Δ τ = β / M B N M ∑ { s j , ℓ } exp [ K x ∑ j , ℓ s j , ℓ s j + 1 , ℓ + K τ ∑ j , ℓ s j , ℓ s j , ℓ + 1 ] . Z_Q=
\lim_{\substack{M\to\infty\\\Delta\tau=\beta/M}}
B^{NM}
\sum_{\{s_{j,\ell}\}}
\exp\left[
K_x\sum_{j,\ell}s_{j,\ell}s_{j+1,\ell}
+
K_\tau\sum_{j,\ell}s_{j,\ell}s_{j,\ell+1}
\right]. Z Q = M → ∞ Δ τ = β / M lim B NM { s j , ℓ } ∑ exp K x j , ℓ ∑ s j , ℓ s j + 1 , ℓ + K τ j , ℓ ∑ s j , ℓ s j , ℓ + 1 . Z c l = ∑ { s j , ℓ = ± 1 } exp [ K x ∑ j , ℓ s j , ℓ s j + 1 , ℓ + K y ∑ j , ℓ s j , ℓ s j , ℓ + 1 ] . Z_{\mathrm{cl}}
=
\sum_{\{s_{j,\ell}=\pm1\}}
\exp\left[
K_x\sum_{j,\ell}s_{j,\ell}s_{j+1,\ell}
+
K_y\sum_{j,\ell}s_{j,\ell}s_{j,\ell+1}
\right]. Z cl = { s j , ℓ = ± 1 } ∑ exp K x j , ℓ ∑ s j , ℓ s j + 1 , ℓ + K y j , ℓ ∑ s j , ℓ s j , ℓ + 1 . 也就是说如果把虚时间视作y方向的坐标，两个东西的配分函数是完全一致的。再加上由于纯态可以视作虚时间尺度趋于无穷，这与无限延申的2D Ising刚好匹配。
于是很自然地我们可以把所有2D Ising的结论往横场Ising里套（结论怎么来的你先别管）
各向异性的2D Ising有精确临界条件
sinh ( 2 K x ) sinh ( 2 K y ) = 1. \sinh(2K_x)\sinh(2K_y)=1. sinh ( 2 K x ) sinh ( 2 K y ) = 1. 往里套K x K_x K x K τ K_\tau K τ g c = Γ c J = 1 g_c=\frac{\Gamma_c}{J}=1 g c = J Γ c = 1
剩下的一系列临界指数也是同理。换句话说就是1D的横场Ising和2D的经典Ising属于一个普适类（用共形场论或许会更容易解释些，可惜自己不会）
至于 2D Ising的经典求解非想了解的可以去看Onsager的神秘传递矩阵法）
另外换种思路或许可以通过JW变换的思路来求解2D 经典Ising？
